Definición de vectores

Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son:

Origen

O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el que actúa el vector.

Módulo

Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo.

Dirección

Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene.

Sentido

Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.

Hay que tener muy en cuenta el sistema de referencia de los vectores, que estará formado por un origen y tres ejes perpendiculares. Este sistema de referencia permite fijar la posición de un punto cualquiera con exactitud.

El sistema de referencia que usaremos, como norma general, es el Sistema de Coordenadas Cartesianas.

Para poder representar cada vector en este sistema de coordenadas cartesianas, haremos uso de tres vectores unitarios. Estos vectores unitarios, son unidimensionales, esto es, tienen módulo 1, son perpendiculares entre sí y corresponderán a cada uno de los ejes del sistema de referencia.

Magnitudes Escalares

Denominamos Magnitudes Escalares a aquellas en las que las medidas quedan correctamente expresadas por medio de un número y la correspondiente unidad. Ejemplo de ello son las siguientes magnitudes, entre otras:

Masa

Temperatura

Presión

Densidad

Magnitudes vectoriales

Las magnitudes vectoriales son magnitudes que para estar determinadas precisan de un valor numérico, una dirección, un sentido y un punto de aplicación.

Vector

Un vector es la expresión que proporciona la medida de cualquier magnitud vectorial. Podemos considerarlo como un segmento orientado, en el que cabe distinguir:

• Un origen o punto de aplicación: A.

• Un extremo: B.

• Una dirección: la de la recta que lo contiene.

• Un sentido: indicado por la punta de flecha en B.

• Un módulo, indicativo de la longitud del segmento AB.

Ejercicio Suma de Vectores

   Encuentra en forma analítica las componentes rectangulares de un vector cuyo módulo es de 60 y forma un ángulo de 45º con respecto a la horizontal en sentido noreste.

Datos
α = 450
sen 450= 0.7
cos 450= 0.7
ax ≈ ?

   coseno 45º = ax/a; seno 45º = ay/a  ==> Despejando las componentes será:

ax= a cos⁡ 450

ay= a sen 450

   Sustituimos y calculamos

ax= 60 cos⁡ 450 = 60∙0.7= 42

ax= 42

ay= 60 sen⁡450 = 60∙0.7= 42

ay= 42

Vectores iguales

Dos vectores son iguales cuando tienen el mismo módulo y la misma dirección.

Vector libre

Un vector libre queda caracterizado por su módulo, dirección y sentido. El vector libre es independiente del lugar en el que se encuentra.

Descomponiendo en un sistema de ejes cartesianos

a+b=(axi+ayj+ azk)+(bxi+byj+ bzk)=(ax+bx)i+(ay +by)j+(az+bz)k

Propiedades

Conmutativa: a+b=b+a

Asociativa: (a+b)+c=a+(b+c)

Elemento Neutro: a+0=a

Elemento Simétrico: a+(-a)=a-a=0

Vectores unitarios y componentes de un vector

EJERCICIOS RESUELTOS DE PUNTOS Y VECTORES EN EL PLANO

1. Determinar si los vectores AB = (35, -21) y CD = (-10, 6) tienen la misma dirección. Calcular el
módulo de ambos vectores.
Solución
Para determinar si dos vectores tienen la misma dirección basta comprobar si sus componentes son proporcionales.
El cociente de las primeras componentes es 35 = 7 y el de las segundas −21 = −7 , por tanto los -10-2 62

EJEMPLOS:


1. Dados los puntos A = (-3, 5) y B = (3, 2) calcular las coordenadas del punto del segmento AB cuya distancia a A es el doble de su distancia a B.

En la figura se observa que OX = OA+AX .

Teniendo en cuenta que la distancia de X a A es el doble que la 2

deXaBsetiene AX=3AB.
2

Portanto, OX= OA+3AB ycomo AB=(3-(-3),2-5)=(6,-3), 2

sustituyendoqueda OX=(-3,5)+3(6,-3)=(1,3). Por tanto, las coordenadas buscadas son (1, 3) 

2. Dado el vector libre a = (5, 3) y el punto A = (4, -1), hallar las coordenadas del punto B para

que el vector fijo AB represente al vector a .

Llamando (x, y) a las coordenadas de B, las componentes del vector AB son (x - 4, y + 1).

Para que el vector AB represente al vector libre a se ha de verificar (x - 4, y + 1) = (5, 3), de donde,x-4=5e y+1=3,obteniéndosex=9ey=2.
Así las coordenadas de B son (9, 2).